“大田区萩中の”しぶや進学塾

2013年 都立青山高校の入試問題 Bの[問2]


都立の自校作成の数学の問題として秀逸なので解法を示します。
問題 四角の3


解法;問2の(2)
凾`RSと凾`TPの相似を示し、
線分ASと線分OQが中点連結定理で比を求め、
∠AOPが60°になることから、
線分ARと線分ASの長さの比をもとめ、
相似比を求め、面積が相似比の二乗に比例することから
解を求める。

[解]
凾`RSと凾`TPで
(1)において、∠ARB=∠QTSが示され、
対頂角が等しいことから、∠QTS=∠ATP
したがって、 ∠ARS=∠ATP  ・・・@
共通な角から、∠RAS=∠TAP  ・・・A
@、Aより2組の角がそれぞれ等しいことから、
     凾`RS∽凾`TP    ・・・B
凾`BSと凾nBQで、
円の半径から、 OQ=OB=OA、
仮定から    BQ=QS   なので、
中点連結定理から
     AS=2OA       ・・・C
また、円弧APが円弧ABの1/3となることから、
∠AOP=60°となり、凾`POは正三角形となることから、
     AP=OA        ・・・D
C、Dより、凾`RSと凾`TPの相似比は 1:2となるので、
面積の比は、相似比の二乗となり、  
        1:4
となる。
したがって、
凾`TPと四角形PTSRの面積の比は
        1:3
となる。